Agresti y Caffo

La estimación estadística por intervalos de confianza para la diferencia de proporciones de Agresti y Caffo es un método para estimar la diferencia entre dos proporciones poblacionales a partir de muestras independientes. A diferencia de los métodos tradicionales, como el intervalo de confianza de Wald, la metodología de Agresti y Caffo introduce una corrección que mejora la precisión del intervalo de confianza, especialmente en muestras pequeñas.

¿Qué es una estimación por intervalos para la diferencia de proporciones?

Es una herramienta estadística para determinar si dos poblaciones difieren en cuanto a una característica de interés, proporcionando un rango de valores dentro del cual podemos estar seguros, con un nivel de confianza, de que se encuentra la verdadera diferencia entre las proporciones poblacionales. En lugar de dar un simple sí o no a la pregunta de si las proporciones son iguales o distintas, este método nos permite cuantificar el grado de seguridad de nuestras conclusiones.

Explicado con un ejemplo sería:

Imagina que estás comparando dos marcas de bebida para ver cuál es más popular. En vez de simplemente contar el número de ventas y decir «Coca-Cola gana», utilizas la estimación por intervalos para la diferencia de proporciones para entender mejor la historia. Este método te da un margen de error en tus resultados, algo así como decir: «Estamos bastante seguros de que entre un 5% y un 10% más de personas prefieren Coca-Cola a Pepsi». Si este rango incluye el cero, podrías concluir que no hay una diferencia clara en la preferencia entre Coca-Cola y Pepsi. Por otro lado, si el intervalo está completamente por encima o por debajo de cero, entonces puedes decir con confianza que una marca es más popular que la otra. Es como tener un termómetro que te dice qué tan caliente o fría está la competencia entre las dos marcas, dándote una medida más valiosa que simplemente contar el número de ventas.

La prueba de Agresti y Caffo es una técnica refinada para construir intervalos de confianza para la diferencia de proporciones que incorpora una corrección mediante la adición de éxitos y fracasos ficticios a los datos observados. Específicamente, se añaden dos éxitos y dos fracasos a cada muestra. El artículo ‘Simple and Effective Confidence Intervals for Proportions and Differences of Proportions Result from Adding Two Successes and Two Failures‘ por Agresti y Caffo proporciona la justificación teórica y empírica para este enfoque. Ellos demuestran que este método ajustado presenta una mejora significativa en la cobertura de la probabilidad real sobre el intervalo de Wald, especialmente para muestras pequeñas, donde los intervalos tradicionales suelen ser inadecuados.

El intervalo de confianza propuesto por Agresti y Caffo es:

\left[{(\tilde{p}_1 - \tilde{p}_2) \pm Z_{1- \alpha/2} \sqrt{\frac{\tilde{p}_1(1 - \tilde{p}_1)}{n_1+2} + \frac{\tilde{p}_2(1 - \tilde{p}_2)}{n_2+2}}}\right]

donde:

\tilde{p}_1 = \frac{X_1 + 1}{n_1 + 2}

\tilde{p}_2 = \frac{X_2 + 1}{n_2 + 2}

siendo:

• \tilde{p}_1 y \tilde{p}_2 las proporciones estimadas para las muestras 1 y 2.
• X_1 y X_2 el número de éxitos o la frecuencia de la característica de interés en las muestras 1 y 2.
• n_1 y n_2 el tamaño total de las muestras 1 y 2.
• Z_{1- \alpha/2} es el valor crítico de la Distribución Normal para el nivel de confianza deseado.

El intervalo de confianza \left[\text{Lím Inf}, \text{Lím Sup}\right] captura un rango en el que podemos estar seguros, hasta un cierto nivel de confianza, de que se encuentra la verdadera diferencia entre las proporciones poblacionales. Si el intervalo no incluye el valor cero, indica que hay una diferencia estadísticamente significativa entre las proporciones; es decir, las proporciones no son iguales. Por otro lado, si el intervalo incluye el cero, entonces no tenemos suficiente evidencia para afirmar que las proporciones son diferentes y cualquier diferencia observada en las muestras podría atribuirse al azar.

En resumen, esta estimación nos ayuda a entender y medir la precisión de la diferencia entre dos proporciones, proporcionando una base sólida para la toma de decisiones basada en datos.

Se ha llevado a cabo una encuesta en una ciudad para determinar la preferencia de refresco entre Coca-Cola y Pepsi. En la encuesta elaborada por Sara, 550 personas indicaron que prefieren Coca-Cola, de un total de 1000 encuestados. Por otro lado, Michael ha encuestado a 2500 personas y 800 afirmaron preferir Pepsi.

Recuerda que la estimación por intervalos para la diferencia de proporciones te ayudará a entender no solo si hay una diferencia, sino qué tan seguros podemos estar sobre esa diferencia. ¿Podría ser que la preferencia sea realmente la misma y los resultados obtenidos sean solo por variaciones al azar? ¿O es la diferencia lo suficientemente grande para estar confiados de que una marca es más popular que la otra en esta ciudad?

¡Averigüémoslo!

Tenemos una ciudad en la que se han elaborado dos encuestas independientes. La encuesta elaborada por Sara cuenta con un total de 1.000 personas encuestadas (n_1 = 1.000), de las cuales 550 indicaron que preferían Coca-Cola (x_1 = 550). Por otro lado, la encuesta elaborada por Michael cuenta con un total de 2.500 personas encuestadas (n_2 = 2.500), de las cuales 800 indicaron que preferían Pepsi (x_2 = 800).

Calculamos las proporciones:

\tilde{p}_1 = \frac{X_1 + 1}{n_1 + 2}= \frac{550 + 1}{1.000 + 2}=0,5499

\tilde{p}_2 = \frac{X_2 + 1}{n_2 + 2}= \frac{800 + 1}{2.500 + 2}=0,3201

Antes de proceder al cálculo del intervalo, debemos establecer un nivel de confianza. Consideraremos un nivel de confianza del 95% para la estimación (\alpha = 0,05).

\left[{(\tilde{p}_1 - \tilde{p}_2) \pm Z_{1- \alpha/2} \sqrt{\frac{\tilde{p}_1(1 - \tilde{p}_1)}{n_1+2} + \frac{\tilde{p}_2(1 - \tilde{p}_2)}{n_2+2}}}\right]

Sustituimos por los valores:

\left[{(0,55 - 0,32) \pm Z_{1- 0,05/2} \sqrt{\frac{0,55(1 - 0,55)}{1000+2} + \frac{0,32(1 - 0,32)}{2500+2}}}\right]

Operamos:

\left[{(0,23) \pm Z_{1- 0,025} \sqrt{\frac{0,55(0,45)}{1002} + \frac{0,32(0,68)}{2502}}}\right]

Seguimos operando:

\left[{(0,23) \pm Z_{0,975} \sqrt{\frac{0,2475}{1002} + \frac{0,2176}{2502}}}\right]

Hasta que llegamos a:

\left[{(0,23) \pm Z_{0,975} *0,018275}\right]

Para obtener el valor de Z_{0,975} tenemos que dirigirnos a la tabla de la Distribución Normal y buscar el valor 0,975 en el interior de la tabla.

El valor de Z_{0,975}=1,96.

Sustituimos la Z:

\left[{(0,23) \pm 1,96 *0,018275}\right]

\left[{(0,23) \pm 0,0358}\right]

\left[{(0,23 - 0,0358),(0,23 + 0,0358)}\right]

El intervalo de confianza calculado para la diferencia en la preferencia de refrescos entre Coca-Cola y Pepsi es:

\left[{0,1942\text{, }0,2658}\right]

Esto significa que, con un nivel de confianza del 95%, podemos estar seguros de que la diferencia real en la proporción de la población que prefiere Coca-Cola sobre Pepsi está entre el 19.42% y el 26.58%.

• Diferencia Significativa en Preferencia: Hay una diferencia estadísticamente significativa en la preferencia entre Coca-Cola y Pepsi, ya que el intervalo de confianza no incluye el 0. Esto sugiere que es muy improbable que la diferencia observada sea debido a variaciones al azar.
• Coca-Cola es más popular: La proporción de preferencia por Coca-Cola es mayor que la preferencia por Pepsi en las muestras tomadas. Con una diferencia de proporción que no es marginal (oscila entre aproximadamente 19% y 27%), podemos concluir que Coca-Cola tiene una preferencia significativamente mayor en la población encuestada.

Respondiendo a las preguntas planteadas:

• ¿Existe realmente una diferencia en la preferencia de los consumidores entre Coca-Cola y Pepsi? Sí, existe una diferencia significativa basada en las encuestas realizadas por Sara y Michael. Coca-Cola es preferida por una proporción mayor de los encuestados en comparación con Pepsi.
• ¿Podría ser que la preferencia sea realmente la misma y los resultados obtenidos sean solo por variaciones al azar? Es poco probable que la diferencia en la preferencia sea el resultado de variaciones al azar. El intervalo de confianza calculado no cruza el valor cero, lo que indica que la diferencia es estadísticamente significativa.
• ¿Es la diferencia lo suficientemente grande para estar confiados de que una marca es más popular que la otra en esta ciudad? Sí, la diferencia en las proporciones es lo suficientemente grande como para estar razonablemente confiados de que Coca-Cola es más popular que Pepsi entre los encuestados en esta ciudad. Esto es evidente por el intervalo de confianza que se sitúa completamente por encima de cero y muestra una diferencia de al menos un 19.42%.

Es importante considerar que las encuestas reflejan las preferencias de aquellos que participaron en ellas, y pueden o no representar la preferencia de toda la población de la ciudad. Además, factores como el diseño de la encuesta, el método de muestreo, y cómo se realizó la encuesta pueden influir en los resultados. Por lo tanto, mientras las conclusiones son válidas para los datos presentados, deben interpretarse con cautela si se van a generalizar para toda la población.